二项分布计算器

在统计和概率中，二项分布的概率密度函数由方程给出

PDF(x) = (ⁿ_x)p^x(1-p)^n-x,

其中 n 是独立伯努利试验的数量，p 是每次试验的成功概率。

出现二项分布的常见情况是在一系列抛硬币中。假设你掷了七次公平的硬币，试图得到正面。在这种情况下，n = 7 和 p = 0.5。要计算 正好抛头 四次的概率，您需要评估

PDF(4) = (⁷₄)(0.5)⁴(0.5)³

= 35(0.5)⁷

= 0.2734375.

要找到最多四个正面翻转的概率，请计算总和

PDF(0) + PDF(1) + PDF(2) + PDF(3) + PDF(4)

0.0078125 + 0.0546875 + 0.1640625 + 0.2734375 + 0.2734375
= 0.77344.

二项分布的另一个应用是掷骰子。例如，假设您掷出两个六面骰子以获得 8 的总和。用两个骰子得到 8 和的概率是 5/36。如果你掷骰子 13 次，正好两次得到 8 的概率是

PDF(2) = (¹³₂ )(5/36)²(31/36)¹¹

= 0.290456255.

二项均值和方差

二项分布的平均值 μ 由方程给出

μ = np.

方差 σ² 由方程给出

σ² = np(1-p).

如果您知道 μ 和σ²的值 2，但 n 和 p 未知，则可以使用方程计算 n 和 p

p = 1 - σ²/μ       and       n = μ²/(μ - σ²).

正态分布的近似

如果 n 很大，则二项分布可以通过 正态分布 近似，均值为 np，标准差为 sqrt[np（1-p）]。n 足够大的条件需要解释，但当 n 至少为 20 且 p 接近 0.5 时，近似值更好。

决定是否可以使用正态分布的一条经验法则是检查与均值相差 3 个标准差以内的所有内容是否都在可能值的范围内。那是

np + 3sqrt[np(1-p)] < n, 且

np - 3sqrt[np(1-p)] > 0,

这简化为检查 n 是否大于 both 9p/（1-p） 和 9（1-p）/p。

例如，如果 p = 0.32 且 n = 22 的二项分布，则可以使用正态分布来近似概率，因为

22 > 9(0.32)/0.68   and   22 > 9(0.68)/0.32.